Úplnosť axiomatickej teórie

úplnosť axiomatickej teórie

- dokázanosť všetkých pravdivých viet danej teórie v danom axiomatickom, formálnom systéme, t. j. ich odvodenosť z axióm. Logicko-metodologická požiadavka úplnosti axiomatickej teórie sa kladie na axiomaticky vybudované teórie.

V súvislosti s rozdielom medzi syntaktickými a sémantickými axiomatickými teóriami sa požíadavky úplnosti diferencujú; rozlišujeme syntaktickú úplnosť v slabom zmysle (všetky vety určitého systému sa v ňom dajú odvodiť alebo vyvrátiť) a v silnom zmysle (ak pridáme k axiómam vetu, ktorá je v tomto systéme neodvoditeľná, stáva sa tento systém protirečivým), sémantickú úplnosť vzhľadom na určitý model (každá veta, ktorá v danom modeli zodpovedá pravdivému výroku, je v tomto systéme odvoditeľná) atď.

Počas skúmania dostatočne bohatých axiomatických teórií (napríklad aritmetiky) bola dokázaná ( G"del - r. 1931 a ďalšie výsledky) ich principiálna neúplnosť, t. j. existencia takých viet, ktoré v rámci týchto teórií nemožno ani dokázať, ani vyvrátiť. Požiadavka úplnosti nie je celkom nevyhnutnou podmienkou úspešnej axiomatizácie: neúplné teórie sa dajú úspešne prakticky aplikovať ( L53;534).